|
|
 |
Условие
Шалтай-Болтай ходит по прямой, проходя за минуту либо 37 шагов влево, либо 47 шагов вправо.
За какое наименьшее время он может оказаться на один шаг правее исходной точки?
Решение
Фактически, требуется найти решение уравнения 47x – 37y = 1 (*) в целых неотрицательных числах с наименьшей суммой x + y.
Одно из решений этого уравнения – x = 26, y = 33. Пусть (x, y) – другое целочисленное решение этого уравнения. Вычтя из равенства (*) равенство 47·26 – 37·33 = 1, получаем 47(x – 26) = 37(y – 33). Отсюда следует, что x – 26 делится на 37, а y – 33 – на 47. Значит, (26, 33 ) – решение с минимальным положительным значением как x, так и y.
Ответ
За 59 минут.
Замечания
1. Задача сформулирована неточно. Формально Шалтай-Болтай окажется в указанной точке уже через 1/47 минуты.
2. Источник решения: книга В.О.Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
