ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32096
Темы:    [ Раскраски ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямая раскрашена в два цвета.
Докажите, что на ней найдутся такие три точки A, B и C, окрашенные в один цвет, что точка B является серединой отрезка AC.


Решение

Рассмотрим на прямой две произвольные точки X и Y одного цвета, а также точку X1, симметричную X относительно Y, точку Y1, симметричную Y относительно X и середину O отрезка XY (см. рис.). Если хотя бы одна из этих точек окрашена в тот же цвет, что и точки X и Y, то она вместе с ними образует искомую тройку. Если все эти три точки окрашены в другой цвет, то тогда они будут искомой тройкой.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 11
Дата 1988
задача
Номер 05

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .