Задача 32098

Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Неравенства с высотами ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

Решение

  Обозначим стороны треугольника a, b и c так, что высоты, опущенные на стороны a и b, не меньше этих сторон. По условию  h_a ≥ a,  h_b ≥ b.  Поскольку перпендикуляр является кратчайшим расстоянием от точки до прямой, то  a ≤ h_a ≤ b ≤ h_b ≤ a,  откуда  a = b = h_a = h_b.
  Условие  a = b  означает, что треугольник равнобедренный, а условия  a = h_b  и  b = h_a  – что стороны a и b являются одновременно высотами, то есть они перпендикулярны друг другу. Итак, рассматриваемый треугольник прямоугольный и равнобедренный.

Ответ

90°, 45°, 45°.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	11
Дата	1988
задача
Номер	07