Задача 32123

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше 4.

Решение 1

Пусть x и y – данные числа. Условие  x + y < xy  можно переписать в виде  (x – 1)(y – 1) > 1,  откуда очевидно, что  x > 1,  y > 1.  Согласно неравенству Коши      откуда  x + y > 4.

Решение 2

Согласно неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим   

Замечания

Источник решения 1: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	13
Дата	1990
задача
Номер	07