Задача 32131

Тема:    [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D такая, что ,. Докажите, что угол C — тупой.

Решение

Теорема синусов, примененная к треугольникам ABC и ADC, дает

или

Учитывая условие задачи и то, что углы DAC и BAC равны, получаем  sin ACD =  sin ACB. Так как углы ACB и ACD не равны, то последнее равенство означает, что их сумма равна 180. Значит, больший из них — угол ACB — тупой.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	14
Дата	1991
задача
Номер	07