|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC, где угол B прямой, а угол A меньше угла C, проведена медиана BM. На стороне AC взята точка L так, что ∠ABM = ∠MBL. Описанная окружность треугольника BML пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что AN = BL.
Решение
Так как BM – медиана в прямоугольном треугольнике, то треугольник AMB равнобедренный, поэтому ∠MAN = ∠ABM = ∠MBL
(см. рис.).
Первый способ. Из вписанности четырёхугольника BLMM следует, что ∠MNA = ∠MLB. Таким образом, треугольники AMN и BML равны по двум углам и стороне. Значит, AN = BL.
Второй способ. Углы NBM и NLM опираются на одну дугу, поэтому ∠NLM = ∠NBM = ∠NAL. Значит, треугольник ANL равнобедренный, AN = LN, а ∠BNL = 2∠BAM = 2∠NBM = ∠NBL. Поэтому треугольник NLB равнобедренный, то есть BL = NL = AN.
