Задача 34836

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Решите в натуральных числах уравнение  3^x + 4^y = 5^z.

Подсказка

Рассмотрите остатки от деления на 3 и 4, используйте формулу разности квадратов.

Решение

Правая часть при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, то есть 1. Поэтому z чётно. Аналогично левая часть делится на 4 с остатком 1, поэтому x тоже чётно. Итак,  4^y = 5^z – 3^x = 5^2u – 3^2v, то есть  2^2y = (5^u – 3^v)(5^u + 3^v).  Обе скобки справа являются степенями двойки. Пусть  5^u – 3^v = 2^k  и
5^u + 3^v = 2^l,  где  k, l ≥ 0  и  k + l = 2y.  Тогда  5^u = ½ (2^k + 2^l)  и  3^v = ½ (2^l – 2^k).  Поэтому  l > k,  значит, 2^l делится на 4, а 2^k – не делится, то есть  k = 1,  2^k = 2
и  3^v = 2^l–1 – 1.  Отсюда следует, что число  l – 1  чётно,  l – 1 = 2s.  Тогда  3^v = (2^s – 1)(2^s + 1)  – произведение двух чисел, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Следовательно, эти множители – 1 и 3. Значит,  s = 1,  l = 3,  2y = 4.

Ответ

(2, 2, 2).