Условие
Докажите, что если выпуклый многоугольник можно разбить
на несколько параллелограммов, то он имеет центр
симметрии.
Подсказка
От некоторой стороны можно начать
"цепочку параллелограммов".
Решение
От каждой стороны многоугольника отходит цепочка
параллелограммов, т.е. эта сторона как бы
перемещается по ним параллельно, причем
она может по ходу перемещения разбиваться на
несколько частей.
Так как у выпуклого многоугольника может быть еще
только одна сторона, параллельная данной, то
все разветвления цепочки упираются в одну и ту же сторону,
причем длина этой стороны не меньше длины стороны,
из которой цепочка выходит.
Мы можем выпустить цепочку параллелограммов как
из первой стороны во вторую, так и из второй в первую,
поэтому все стороны многоугольника разобьются на пары
параллельных и равных сторон.
Отсюда нетрудно показать, что многоугольник имеет центр
симметрии.
Источники и прецеденты использования
