Условие
В квадрате 2000*2000 расставлены числа так, что в любом квадрате
2*2 сумма левого верхнего числа и правого нижнего числа равна
сумме левого нижнего числа и правого верхнего числа. Докажите,
что
сумма
чисел, стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах квадрата
2000*2000, равна сумме чисел, стоящих в двух других углах.
Подсказка
Сложите равенства, отвечающие всем квадратам 2*2.
Решение
Для каждого квадратика 2*2 рассмотрим равенство a+c=b+d,
где a и с - числа, стоящие в левом верхнем и правом нижнем углах
квадратика, а b и d - числа, стоящие в левом нижнем и правом
верхнем
углах. По условию это выражение равно 0.
Если сложить все такие равенства для всевозможных квадратиков
2*2,
содержащихся в квадрате 2*2, то все числа, кроме стоящих в
угловых клетках, сократятся, и окажется, что сумма чисел,
стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах большого квадрата,
и
сумма чисел, стоящих в его правом верхнем и левом нижнем углах,
равны, что и требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
