Условие
Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника,
площади которых относятся как 2:3.
Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых
проходят через одну точку.
Подсказка
Имеются 4 фиксированные точки внутри квадрата, такие что
каждая прямая, делящая площадь квадрата в отношении 2:3, проходит
через одну из них.
Решение
Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на две трапеции,
основания которых лежат на сторонах квадрата и высоты равны
стороне квадрата.
Ясно, что прямая делит "среднюю линию" квадрата в отношении 2:3,
поскольку отношение площадей этих трапеций равно отношению
их средних линий. На каждой из двух средних линий имеется
2 точки,
делящие ее в отношении 2:3.
В результате мы получаем, что каждая из девяти данных
прямых проходит через одну из 4 указанных точек.
По
принципу Дирихле
через одну из этих
точек пройдет не менее трех прямых.
Источники и прецеденты использования
