Задача 34922

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3 Классы:

Условие

Пусть p – простое число, большее 2, а  ^m/_n = 1 + ½ + ⅓ + ... + ¹/_p–1.  Докажите, что m делится на p.

Подсказка

Сгруппируйте первое слагаемое с последним, второе – с предпоследним и т.д.

Решение

Достаточно доказать это утверждение для несократимой дроби ^m/_n. В сумме  1 + ½ + ⅓ + ... + ¹/_p–1  сгруппируем первое слагаемое с последним, второе – с предпоследним и т.д. Получим ^p–1/₂ сумм вида  ¹/_k + ¹/_p–k = ^p/_k(p–k). При приведении суммы таких дробей к общему знаменателю в числителе останется число, кратное p, а в знаменателе –  (p – 1)!.  Поскольку p просто, оно не сократится при приведении к несократимому виду.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача