Задача 34929

Тема:    [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы:

Условие

Натуральный ряд разбит на n арифметических прогрессий (каждое натуральное число принадлежит ровно одной из этих n прогрессий). Пусть d₁, d₂, ..., d_n – разности этих прогрессий. Докажите, что   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dn = 1.

Подсказка

В длинном куске натурального ряда числа из первой прогрессии составляют долю, равную примерно ¹/_d1.

Решение

Положим  N = d₁d₂...d_n.  Возьмём N последовательных натуральных чисел, меньшее из которых больше всех первых членов n прогрессий. Тогда среди этих N чисел ровно ^N/_d1 чисел принадлежат первой прогрессии, ровно ^N/_d2 – второй, и т.д., ровно ^N/_dn – n-й прогрессии. Поскольку каждое из этих N чисел принадлежит ровно одной прогрессии, отсюда следует нужное равенство.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача