Условие
Докажите, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить
непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна
100.
Подсказка
Нужно, чтобы круги были достаточно маленькими.
Решение
Пусть a и b - стороны прямоугольника.
Тогда в прямоугольнике легко разместить в виде сетки
[a/s]*[b/s] квадратов со стороной s (знак [x] обозначает
целую часть числа x).
В каждый из этих квадратов впишем круг.
Сумма радиусов всех кругов будет не меньше, чем
s*[a/s]*[b/s]/2, что в свою очередь больше (делаем оценку, заменяя
[a/s] и [b/s] соответственно на (a-s)/s и (b-s)/s)
(a-s)(b-s)/2s.
Уменьшая s, можно добиться, чтобы эта величина была больше 100.
Далее, непрерывно уменьшая радиусы всех кругов, добьемся того,
чтобы сумма их радиусов равнялась в точности 100.
Источники и прецеденты использования
