Условие
Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед,
чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была
наибольшей?
Подсказка
Проекция параллелепипеда - центрально-симметричный шестиугольник.
Решение
Проекция параллелепипеда - шестиугольник (возможно, выродившийся в
четырехугольник), составленный из трех параллелограммов,
являющихся проекциями "видимых" граней.
Обозначим этот шестиугольник A'B'C'D'E'F' (A',B',C',D',E',F' -
проекции вершин A,B,C,D,E,F параллелепипеда), и пусть он составлен из
параллелограммов A'B'C'O', C'D'E'O', E'F'A'O',
где O' - точка внутри шестиугольника,
являющаяся проекцией вершины O параллелепипеда.
Поскольку диагональ параллелограмма делит его площадь пополам,
площадь треугольника A'C'E' составляет половину площади
шестиугольника. Треугольник A'C'E' представляет собой проекцию
треугольника ACE. Проекция треугольника ACE имеет максимальную
площадь в том случае, когда плоскость ACE горизонтальна
(так как площадь проекции равна площади треугольника,
умноженной на косинус угла между
плоскостями).
Нетрудно понять, что оптимальное расположение не зависит
от выбора вершины O.
Ответ
Параллелепипед должен располагаться так, чтобы
плоскость, проходящая через вторые концы его ребер,
выходящих из некоторой его вершины, была горизонтальна.
Источники и прецеденты использования
