Условие
Расположите 10 треугольников на плоскости так, чтобы
любые два из них имели общую точку, а любые три - нет.
Подсказка
Сделайте треугольники длинными, похожими на отрезки.
Решение
Рассмотрим бесконечную полосу шириной 1 на плоскости.
Проведем вторую полосу ширины 1, ось которой непараллельна
оси первой полосы. Общая часть этих полос -
ограниченная фигура (а именно параллелограмм).
Проведем следующую полосу, не пересекающую общую часть
первых двух полос и имеющую ось, непараллельную осям двух
уже проведенных полос. Попарные пересечения полос
образуют конечное множество параллелограммов.
Таким образом проводим новые полосы,
не пересекающие общих частей пар уже проведенных полос,
каждый раз выбирая
ось, непараллельную осям проведенных полос.
(Можно считать каждую следующую полосу расположенной
"далеко" от попарных пересечений предыдущих полос.)
В конце концов мы получим 10 таких полос, что
любые две из них имеют общую точку, а любые три - нет.
Выберем внутри каждой полосы достаточно "длинный" треугольник.
Ясно, что это
можно сделать таким образом, что условие задачи будет
выполнено.
Источники и прецеденты использования
