Условие
Длина каждой из диагоналей выпуклого четырехугольника
больше 2. Докажите, что в этом четырехугольнике хотя бы одна
сторона имеет длину, большую 2
1/2.
Подсказка
Самая длинная сторона видна из точки пересечения диагоналей
под углом, не меньшим 90 градусов.
Далее можно воспользоваться теоремой косинусов.
Решение
Пусть ABCD - данный четырехугольник и O - точка пересечения
его диагоналей. Один из углов AOB,BOC не меньше 90
градусов. Для определенности положим, что угол
AOB не меньше 90 градусов.
Обозначим AO=a,BO=b,CO=c,DO=d.
По условию a+b+c+d больше 4, следовательно,
одна из сумм a+b,c+d больше 2, для определенности,
a+b больше 2.
По теореме косинусов из треугольника AOB получаем:
AB
2=a
2+b
2-2ab*cos(AOB),
что не меньше, чем
a
2+b
2 (косинус
угла AOB отрицательный). Далее, согласно
неравенству о средних
a
2+b
2 не меньше, чем (a+b)
2/2.
Но (a+b)
2/2>2
2/2=2.
Отсюда следует, что
AB больше 2
1/2; таким образом, в
четырехугольнике ABCD найдена сторона длины
больше, чем 2
1/2.
Источники и прецеденты использования
