Условие
Существуют ли 100 таких прямоугольников, что ни один из них нельзя
покрыть остальными 99-ю?
Подсказка
Выбирайте прямоугольники последовательно один за другим,
каждый следующий - намного
тоньше и меньше по площади, чем предыдущий.
Решение
Будем выбирать прямоугольники последовательно один за другим.
В качестве первого прямоугольника возьмем квадрат со стороной 1.
Пусть s
i - площадь i-го прямоугольника,
l
i - длина его большей стороны
(по параметрам s
i,l
i прямоугольник
восстанавливается, причем однозначно).
Обозначим также через d
i длину диагонали i-го
прямоугольника,
таким образом, d
i есть максимальная возможная длина
проекции i-го прямоугольника на
прямую.
Имеем:
s
1=1, l
1=1, d
1=2
1/2.
Если первые k-1 прямоугольников заданы (т.е. определены значения
s
i, l
i для всех i от 1 до k-1), то
определяем s
k, l
k следующим образом.
Положим s
k=s
k-1/4 (таким образом,
s
i=4
-(i-1));
также в качестве l
k выберем некоторое число, большее
2(d
1+d
2+...+d
k-1).
(Можно представлять себе, что каждый следующий прямоугольник намного
тоньше и меньше по площади, чем предыдущий.)
Покажем, что определенные таким образом прямоугольники удовлетворяют
условию,
т.е. для каждого k от 1 до 100 прямоугольник с номером k невозможно
покрыть
остальными прямоугольниками.
Предположим противное - прямоугольник с некоторым номером n покрыт
остальными прямоугольниками.
Условие
l
n>2(d
1+d
2+...+d
n-1)
означает, что прямоугольники с номерами 1,2,...,n-1
при проектировании их на большую сторону прямоугольника с номером n,
покрывают меньше половины этой стороны.
Это означает, что не менее половины площади n-ого
прямоугольника не покрывается
прямоугольниками с номерами 1,2,...,n-1, т.е. покрывается
прямоугольниками с
номерами n+1,n+2,...,100.
Отсюда следует следующее неравенство на площади:
s
n/2<s
n+1+s
n+2+...+s
100
или
4
-(n-1)/2<4
-n+4
-(n+1)+...+4
-
99.
Последнее неравенство преобазуется к виду
2
-2n+1<2
-2n+2
-2n-2+...+2
-
198,
откуда получаем (сокращая на 2
-2n+1):
1<1/2+1/8+...+2
-199+2n,
что неверно (число 1 разлагается в бесконечную сумму
1=1/2+1/4+1/8+...).
Ответ
существуют.
Источники и прецеденты использования
