Задача 34998

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Натуральный ряд 1, 2, 3, ... разбит на несколько (конечное число) арифметических прогрессий.
Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на разность.

Подсказка

Можно рассмотреть прогрессию, в которую входит число, равное произведению разностей всех прогрессий.

Решение

Обозначим через a₁, a₂, ..., a_n первые члены прогрессий, на которые разбит натуральный ряд, через d₁, d₂, ..., d_n – их разности. Произведение всех разностей d₁d₂...d_n входит в одну из прогрессий (пусть i – номер этой прогрессии). Это означает, что для некоторого целого неотрицательного k выполнено равенство d₁d₂...d_n = a_i + kd_i.  Из этого равенства следует, что a_i делится на d_i.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача