Условие
Существует ли выпуклый многогранник,
любое сечение которого плоскостью,
не проходящей через вершину,
является многоугольником с нечетным числом сторон?
Подсказка
Сдвигайте сечение параллельно и проследите,
как изменяется четность числа пересекаемых
ребер при переходе сечения через вершину.
Решение
Предположим, что такой многогранник существует.
Если бы у него была вершина A, в которой сходится четное число m
ребер,
то в многограннике было бы m-угольное сечение,
отделяющее вершину A от остальных вершин.
Таким образом, в каждой вершине многогранника
должно сходиться четное нечетное число ребер.
Рассмотрим некоторую плоскость p, обладающую тем свойством,
что любая параллельная ей плоскость
содержит не более одной вершины многогранника.
Будем рассматривать семейство сечений многогранника,
параллельных этой плосокости.
Перемещаем плоскость сечения параллельно.
Число сторон сечения будет изменяться только при переходе через
вершины,
причем каждый раз проходится только одна вершина.
Рассмотрим один такой переход через вершину, в которой сходится
k (k - нечетно) ребер.
Если плоскость до перехода пересекала s из этих k ребер, то
после перехода она будет пересекать s-k ребер,
поэтому при переходе число пересекаемых ребер изменилось на
s-2k (s-2k - нечетно). Это означает, что если в сечении до перехода
был
n-угольник, то после перехода сечение представляет собой (n+s-2k)-
угольник.
Поскольку n и (n+s-2k) разной четности, то одно из этих сечений есть
многоугольник с четным числом сторон.
мы получили противоречие.
Ответ
не существует.
Источники и прецеденты использования
