Задача 35001

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки C', A', B'. Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', BC'A', CA'B' проходят через одну точку.

Подсказка

Воспользуйтесь необходимым и достаточным условием для того, чтобы четырехугольник был вписанным: четырехугольник вписан тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180⁰.

Решение

Рассмотрим точку P пересечения описанных окружностей треугольников AB'C', BC'A', отличную от точки C'. Докажем, что окружность, описанная около треугольника CA'B' также пройдет через точку P. Предположим вначале, что точка P лежит внутри треугольника ABC. Тогда AB'PC' и BC'PA' - вписанные четырехугольники, поэтому сумма углов ВАС и B'PC', а также ABC и C'PA' равна 180⁰. Из того, что сумма углов ABC, BAC и BCA равна 180⁰ (как сумма углов в треугольнике), а сумма углов B'PC', C'PA' и A'PB' равна 360⁰, следует, что сумма углов B'CA' и B'PA' равна 180⁰. Это означает, что четырехугольник B'PA'C вписанный, т.е. P принадлежит окружности, описанной около треугольника CA'B'. Другие случаи расположения точки P рассматриваются аналогично с использованием теоремы о сумме углов вписанного четырехугольника или теоремы о вписанных углах.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача