Задача 35015

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения точки.

Подсказка

Выразите площадь равностороннего треугольника, используя расстояния от точки до его сторон.

Решение

Пусть точка P находится внутри равностороннего треугольника ABC. Обозначим за a сторону треугольника и за S его площадь, также обозначим за h₁, h₂, h₃ расстояния от точки P до сторон AB, BC, CA соответственно. Приравняем площадь треугольника ABC к сумме площадей треугольников APB, BPC, CPA. Запишем: S = AB*h₁/2+BC*h₂/2+CA*h₃/2 = a(h₁+h₂+h₃)/2. Отсюда h₁+h₂+h₃=2S/a. Таким образом, сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон равна 2S/a независимо от положения точки.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача