Условие
Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся 4 вершины
A, B, C, D, обладающие следующим свойством:
для каждой из четырех вершин A, B, C, D, многогранник целиком лежит
по одну сторону от плоскости,
проходящей через эту точку и параллельной
плоскости, проходящей через три другие вершины.
Подсказка
ABCD - тетраэдр наибольшего объема среди всевозможных тетраэдров,
образованных вершинами многогранника.
Решение
Среди всех четверок вершин многогранника выберем
четверку A, B, C, D, образующую тетраэдр наибольшего объема.
Докажем, что четверка вершин A, B, C, D удовлетворяет условию задачи.
Рассмотрим, например, плоскость П, проходящую через
вершину A и параллельную плоскости, проходящей через вершины
B, C, и D. Предположим, что не весь многогранник лежит по
одну сторону от плоскости П.
Тогда найдется некоторая вершина M многогранника, расположенная
по разные стороны от плоскости П с плоскостью BCD.
Рассмотрим тетраэдр MBCD. Он имеет то же основание BCD,
что и тетраэдр ABCD, а высота, опущенная на основание из вершины
M, больше высоты тетраэдра ABCD, опущенной на основание из вершины
A. Отсюда следует, что объем тетраэдра MBCD больше объема
тетраэдра ABCD вопреки выбору вершин A, B, C, D.
Полученное противоречие показывает, что многогранник целиком лежит
по одну сторону от плоскости П.
Аналогичными рассуждениями доказывается, что многогранник лежит
целиком по одну сторону от трех других плоскостей, о которых
говорится в условии.
Источники и прецеденты использования
