Условие
10 журналов лежат на журнальном столе, полностью покрывая его.
Докажите,
что можно убрать пять из них так, что оставшиеся журналы будут
покрывать не менее половины площади стола.
Подсказка
Сведите задачу к случаю, когда журналы не перекрываются.
Решение
Занумеруем журналы числами от 1 до 10.
От второго журнала отрежем ту часть (если такая есть), которая
уже покрывается первым журналом.
От третьего журнала отрежем ту часть, которая
уже покрывается первым и вторым журналами.
Действуем так и дальше, в конце концов
от десятого журнала отрежем ту часть, которая
уже покрывается всеми журналами с первого по девятый.
После описанной процедуры 10 журналов
(у некоторых из них, возможно, отрезана какая-то часть, в частности,
может быть удален целый журнал)
будут покрывать стол в один слой. Следовательно,
5 журналов, наибольших по площади, покрывают не менее половины
площади стола. Ясно, что те же самые 5 журналов покрывали не менее
половины площади стола и до того, как мы резали журналы.
Следовательно, оставшиеся 5 журналов можно убрать со стола так, чтобы
условие задачи выполнялось.
Источники и прецеденты использования
