Задача 35070

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.

Подсказка

Докажите, что каждая точка внутри четырёхугольника покрыта; используйте теорему о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника.

Решение

Рассмотрим произвольную точку O внутри четырёхугольника ABCD. Сумма углов четырёхугольника ABCD равна 360°, сумма углов HOE, EOF, FOG, GOH также равна 360°. Следовательно, сумма углов в одной из четырёх пар углов HAE и HOE, EBF и EOF, FCG и FOG, GDH и GOH не меньше
(360° + 360°) : 4 = 180°.  Пусть, например, это углы HAE и HOE. Тогда описанный круг треугольника HAE отрезка покрывает точку O.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача