Условие
Внутри квадрата ABCD взята точка M.
Доказать, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM,
CDM, DAM образуют квадрат.
Чему равна сторона этого квадрата, если сторона исходного квадрата
равна 1?
Подсказка
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1,
считая от вершины.
Решение
Отметим точки P, Q, R, S, являющиеся серединами сторон AB, BC, CD,
DA соответственно. Очевидно, PQRS - квадрат.
MP - медиана в треугольнике ABM.
Точка пересечения медиан треугольника ABM
делит медиану MP в отношении 2:1,
считая от вершины M.
Иначе говоря, точка пересечения медиан треугольника ABM
является образом точки P при гомотетии с центром в точке M
и коэффициентом 2/3.
Таким же образом, точки пересечения медиан треугольников
BCM, CDM, DAM являются образами точек Q, R, S
при гомотетии с центром в точке M
и коэффициентом 2/3.
Поэтому точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM,
CDM, DAM образуют квадрат, гомотетичный квадрату PQRS с
коэффициентом 2/3.
Если сторона квадрата ABCD равна 1, то сторона квадрата PQRS равна
2
-1/2, и следовательно, сторона квадрата,
образованного точками пересечения медиан треугольников ABM, BCM,
CDM, DAM, равна 2/3*2
-1/2=2
1/2/3.
Источники и прецеденты использования
