ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35134
Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В строку выписано m натуральных чисел. За один ход можно прибавить по единице к некоторым n из этих чисел.
Всегда ли можно сделать все числа равными?


Подсказка

Если числа m и n имеют общий делитель  d > 1,  то сумма выписанных чисел всегда будет иметь один и тот же остаток от деления на d.


Решение

Пусть числа m и n имеют общий делитель  d > 1,  а сумма выписанных вначале чисел на d не делится. При прибавлении по единице к некоторым n из этих чисел сумма всех чисел увеличивается на n. Поскольку n делится на d, сумма выписанных чисел всегда будет иметь один и тот же остаток от деления на d, следовательно, сумма всех чисел никогда не будет делиться на d. Если же в некоторый момент все m чисел станут равными, то сумма всех чисел разделится на m и, следовательно, на d.


Ответ

Не всегда.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .