Задача 35138

Тема:    [ Полуинварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

На доске записаны несколько чисел. За один ход разрешается любые два из них a и b, одновременно не равные нулю, заменить на числа  a – ^b/₂  и  b + ^a/₂.  Можно ли через несколько таких ходов получить на доске исходные числа?

Подсказка

Что происходит с суммой квадратов чисел, выписанных на доске?

Решение

  Рассмотрим сумму квадратов чисел, выписанных на доске, и покажем, что эта сумма увеличивается. Этим будет обоснован отрицательный ответ на вопрос задачи.
  Действительно,  (a – ^b/₂)² + (b + ^a/₂)² = ⁵/₄ (a² + b²) > a² + b².

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача