Условие
Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной
прямой и непрерывную ровно в одной точке.
Подсказка
Можно отдельно определить функцию на множествах
рациональных и иррациональных точек.
Решение
Определим функцию f(x) равенствами f(x)=0 при рациональном x
и f(x)=x при иррациональном x.
Для любого положительного d при |x|<d |f(x)-f(0)|=|f(x)|<d,
поэтому функция f(x) непрерывна в точке x=0.
С другой стороны пусть a не равно 0.
В любой окрестности точки x=a найдутся две
точки x=b и x=c, такие что b рационально, а c - иррационально,
причем иррациональное число c можно выбрать так, что
|c-a|<|a|/2.
Тогда в любой окрестности числа a для этих b и c из рассматриваемой
окрестности выполнено |f(b)-f(c)|>|0-a/2|=|a/2|,
что противоречит непрерывности функции f(x) в точке a.
Источники и прецеденты использования
