Задача 35149

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка, принадлежащая всем этим фигурам.

Подсказка

Рассмотрите фигуры, дополняющие данные 100 фигур до квадрата.

Решение

Обозначим данные 100 фигур A₁,A₂,...,A₁₀₀, а их площади - S₁,S₂,...,S₁₀₀ соответственно. По условию S₁+S₂+...+S₁₀₀>99. Обознчим через B_i фигуру, дополняющую фигуру A_i до квадрата (т.е. состоящую из всех точек квадрата, не принадлежащих фигуре A_i). Тогда площадь фигуры B_i равна 1-S_i (для i=1,2,...,100). Тогда сумма площадей фигур B₁,B₂,...,B₁₀₀ равна (1-S₁)+(1-S₂)+...+(1-S₁₀₀)= 100-(S₁+S₂+...+S₁₀₀), что меньше 1. Итак, сумма площадей фигур B₁,B₂,...,B₁₀₀ меньше площади квадрата. Это означает, что в квадрате найдется точка, не принадлежащая не одной из фигур B₁,B₂,...,B₁₀₀. Как легко понять, эта точка принадлежит каждой из фигур A₁,A₂,...,A₁₀₀.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача