Условие
Решите уравнение |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2|=6.
Подсказка
Число |x-a| равно расстоянию от точки числовой прямой с координатой x до
точки с координатой a.
Решение
Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой x.
Сумма |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2| равна сумме расстояний от
точки x до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2.
Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек A и B
не меньше длины отрезка AB (и равенство достигается тогда
и только тогда, когда точка расположена на отрезке AB).
Отсюда получаем, что
|x-2|+|x+2| не меньше 4, а |x-1|+|x+1| не меньше 2 при любом
x. Поэтому для того, чтобы
сумма |x-2|+|x-1|+|x|+|x+1|+|x+2| была равна 2+4=6, необходимо, чтобы
|x|=0.
Итак, x необходимо равен 0.
Легко проверить, что значение x=0 действительно
является решением данного уравнения.
Ответ
x=0.
Источники и прецеденты использования
