Задача 35162

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Подсказка

Из условия следует, что равны площади треугольников ABD и ACD.

Решение

Заметим, что  S_ABD = S_AOB + S_AOD = S_COD + S_AOD = S_ACD.  У треугольников ABD и ACD общее основание AD, следовательно, у них равные высоты, опущенные на сторону AD. Это означает, что точки B и C равноудалены от прямой AB. Поскольку B и C находятся по одну сторону от прямой AB, то  BC || AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача