|
|
 |
Условие
В пространстве дано несколько прямых, причём каждые две из них пересекаются.
Докажите, что либо все прямые проходят через одну точку, либо все прямые лежат в одной плоскости.
Подсказка
Зафиксируйте плоскость, в которой лежат некоторые две из данных прямых; предположите, что некоторая прямая из числа данных не лежит в этой плоскости.
Решение
Рассмотрим пару прямых m и l, которые пересекаются в точке O. Через эту пару прямых проведём плоскость π. Пусть среди оставшихся прямых есть некоторая прямая k, не лежащая в плоскости π. С одной стороны, эта прямая пересекается с плоскостью π в единственной точке, а с другой стороны, она должна пересекаться с каждой из прямых m, l. Это означает, что прямая k проходит через точку O. Итак, все прямые, не лежащие в плоскости π, проходят через точку O. Каждая из данных прямых, лежащая в плоскости π, проходит через точку O, поскольку она должна пересекаться с прямой k.
Таким образом, если не все прямые лежат в плоскости π, то все они проходят через точку O.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| задача |
