Задача 35179

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о сумме углов треугольника и законом "угол падения равен углу отражения".

Решение

По условию четырехугольник KLMN, вписанный в четырехугольник ABCD, является замкнутой биллиардной траекторией. Пользуясь тем, что угол падения равен углу отражения, можно ввести следующие обозначения: углы AKN и BKL обозначим за x, углы BLK и CLM обозначим за y, углы CML и DMN обозначим за z, углы DMN и ANK обозначим за t. Пользуясь тем, что сумма углов в треугольнике равна 180⁰, из треугольников NAK, KBL, LCM, MDN получаем, что угол DAB равен 180⁰-t-x, угол ABC равен 180⁰-x-y, угол BCD равен 180⁰-y-z, угол CDA равен 180⁰-z-t. Отсюда следует, что в четырехугольнике ABCD сумма углов DAB и BCD равна сумме углов ABC и CDA (и равна 360⁰-t-x-y-z). Поскольку сумма углов четырехугольника равна 360⁰, то каждая из этих сумм равна 180⁰. Итак, мы получаем, что в четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 180⁰, следовательно, ABCD - вписанный четырехугольник, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача