Условие
В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что
длина стороны BC больше половины длины стороны AB.
Подсказка
По какую сторону от серединного перпендикуляра, проведенного
к отрезку AB, лежит точка C?
Решение
На стороне BC рассмотрим точку D такую, что угол DBA равен
углу DAB.
Из условия задачи следует, что точка D лежит между точками B и
C, а не на продолжении отрезка BC. Следовательно, BD<BC. Но BD
- наклонная, а половина стороны AC - проекция этой наклонной
(поскольку треугольник ABD равнобедренный, точка D лежит на
серединном перпендикуляре к отрезку AB).
Поскольку длина наклонной больше длины проекции,
BD>AB/2. Отсюда BC>AB/2, что и требуется.
Источники и прецеденты использования
