Задача 35189

Темы:    [ Стереометрия (прочее) ] [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Каково максимальное значение, которое может принимать площадь проекции правильного тетраэдра с ребром 1?

Подсказка

Если проекция - четырехугольник, то длина каждой из его диагоналей не больше 1.

Решение

Рассмотрим два возможных случая. 1. Проекция тетраэдра - треугольник. Тогда длина каждой из его сторон не больше 1 (при проектировании длина отрезка может только уменьшиться). Обозначим две из сторон треугольника a и b, и пусть C - величина угла между этими сторонами. Из формулы площади треугольника вытекает, что площадь проекции равна ab*sin(С)/2, что не превосходит 1/2. 2. Проекция тетраэдра - четырехугольник. Диагонали этого четырехугольника являются проекциями некоторых ребер тетраэдра, поэтому длина каждой из диагоналей не больше 1. Обозначим длины диагоналей через d₁, d₂, и пусть U - величина угла между этими диагоналями. Из формулы площади четырехугольника вытекает, что площадь проекции равна d₁d₂*sin(U)/2, что не превосходит 1/2. Осталось убедиться, что найдется плоскость, проекция на которую имеет площадь в точности 1/2. Нетрудно проверить, что плоскость, параллельная паре скрещивающихся ребер тетраэдра, обладает нужным свойством: проекция тетраэдра на эту плоскость есть квадрат с диагональю 1.

Ответ

0.50

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача