Условие
В пространстве расположено выпуклое тело.
(Можно предполагать, что тело замкнуто, т.е. каждая точка
границы тела принадлежит ему.)
Известно, что сечение этого тела любой плоскостью представляет
собой круг или пустое множество.
Докажите, что данное тело является шаром.
Подсказка
Рассмотрите все сечения, проходящие через две наиболее удаленные
точки тела.
Решение
Рассмотрим две наиболее удаленные точки тела - A и B.
(Для ограниченного замкнутого тела функция расстояния между парами точек
является непрерывной, и, по соответствующей теореме из математического анализа,
эта функция достигает своего наибольшего значения для некоторой пары
точек тела).
Все сечения тела, проходящие через прямую AB, являются кругами.
Диаметр каждого из этих кругов не меньше AB, поскольку точки A и B
принадлежат каждому из рассматриваемых сечений.
С другой стороны, диаметр каждого из этих кругов не больше AB,
поскольку AB - максимальное расстояние между парами точек тела.
Таким образом, каждое сечение, проходящее через AB, есть круг с
диаметром AB. Эти круги в объединении дают все тело,
а именно, шар, построенный на AB как на диаметре.
Источники и прецеденты использования
