Условие
Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить
два треугольника.
Подсказка
Попробуйте составить треугольник из трех ребер,
выходящих из одной вершины, среди которых есть наибольшее
ребро тетраэдра.
Решение
Пусть AB - наибольшее ребро тетраэдра (которое не меньше каждого).
Сложим неравенства треугольника
для граней ABC и ABD:
AB<AC+CB, AB<AD+DB; получим
2AB<(AC+AD)+(CB+DB).
Значит, верно хотя бы одно из неравенств
AB<AC+AD и AB<CB+DB
(в противном случае неравенство не выполняется). Если верно
первое, то из сторон AB, AC и AD можно составить треугольник
(поскольку AB - наибольшее ребро), а
три остальные стороны - BC, CD и DB - и так составляют треугольник.
Если верно второе неравенство, то аналогичным образом составляются
треугольники из сторон AB, CB и DB (один треугольник)
и из сторон AC, CD и DA (второй треугольник).
Источники и прецеденты использования
