Условие
На сфере радиуса 1 расположено n точек.
Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними
не больше n
2.
Подсказка
Удобно использовать скалярное произведение векторов.
Решение
Обозначим через a
1, a
2, ... ,
a
n векторы единичной длины, соединяющие
центр сферы с каждой из n точек.
Сумма квадратов попарных расстояний между точками S
тогда будет равна
сумме скалярных произведений
(a
i-a
j, a
i-a
j)
по всем парам i, j от 1 до n таким что ii-a
j, a
i-a
j),
где i, j независимо пробегают числа от 1 до n
(здесь используется, что
скалярное произвеение
(a
i-a
j, a
i-a
j)
равно 0 при i=j).
Далее,
(a
i-a
j, a
i-a
j) =
|a
i|
2 + |a
j|
2 -
2(a
i, a
j).
Таким образом, в сумме 2S
будет присутствовать каждое из слагаемых (равное 1)
|a
1|
2, |a
2|
2, ... ,
|a
n|
2 по 2n раз,
и один раз слагаемое
-2(a
i, a
j)
для каждй пары i, j.
Сумма слагаемых вида -2(a
i, a
j)
равна
-2(a
1+a
2+...+a
n, a
1+a
2+...+a
n).
Окончательно,
2S =
2n*n-2|a
1+a
2+...+a
n|
2,
отсюда получаем, что
2S не больше 2n
2 (поскольку
скалярный квадрат неотрицателен), и S не больше n
2,
что и требовалось.
Источники и прецеденты использования
