Условие
Даны 10 различных положительных чисел.
В каком порядке их нужно обозначить
a
1, a
2, ... , a
10, чтобы
сумма
a
1+2a
2+3a
3+...+10a
10
была наибольшей?
Подсказка
Проследите, как изменится сумма, если поменять местами какую-то
пару чисел a
i, a
j.
Решение
В самом деле, пусть числа расположены не в порядке возрастания,
т.е. при некоторых i и j, i<j, выполнено
a
i>a
j.
Поменяем числа a
i и a
j местами и покажем, что
сумма при этом возрастет.
Изменение суммы равно
R = ja
i+ia
j-ia
i-ja
j =
(j-i)(a
i-a
j), что больше 0, так как каждый
из сомножителей (j-i), (a
i-a
j)
положителен.
Ответ
числа нужно расположить в порядке возрастания.
Источники и прецеденты использования
