Информация о задаче

Задача 35228

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Куб	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дано 16 кубов с длинами рёбер соответственно 1, 2, ..., 16. Разделите их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны суммарные объёмы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин рёбер и количество кубов.

Подсказка

Любые 2ⁿ чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы в обеих группах были равны количества чисел, суммы чисел, суммы квадратов, ..., суммы (n–1)-х степеней.

Решение

Разделим кубы на две группы следующим образом. В первую группу включим кубы со сторонами 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16, во вторую – оставшиеся кубы. Можно убедиться, что условие задачи выполнено.

Замечания

Докажем по индукции, что любые 2ⁿ чисел, образующие арифметическую прогрессию, можно разделить на две группы так, чтобы для любого многочлена степени не выше n – 1 сумма значений этого многочлена в числах из одной группы была равна сумме значений этого многочлена в числах из другой группы.
База (n = 1) очевидна.
Шаг индукции. Обозначим m = 2^k. Пусть имеется арифметическая прогрессия a₁, ..., a_m, b₁, ..., b_m из 2m = 2^k+1 членов. Разделим числа a₁, ..., a_m на две группы A' и A'' так, чтобы выполнялось предположение индукции. Потом разделим числа b₁, ..., b_m на группы B' и B'' так, чтобы b_i входило в группу B' тогда и только тогда, когда a_i входит в группу A'. Объединим теперь A' c B'' и A'' с B'. Покажем, что этим получено нужное разбиение чисел a₁, ..., a_m, b₁, ..., b_m.
Рассмотрим некоторый многочлен P(x) степени не выше k и докажем, что сумма значений P(x), где x пробегает числа из одной группы, равна сумме значений P(x), где x пробегает числа из другой группы. Обозначим c = b_i – a_i (напомним, что разности b_i – a_i одинаковы при всех i от 1 до m). Рассмотрим разности R(a_i) = P(b_i) – P(a_i) = P(a_i + c) – P(a_i). Достаточно показать, что сумма величин R(a_i) по всем a_i из A' равна сумме величин R(a_i) по всем a_i из A''. Но это следует из предположения индукции, поскольку в разности P(a_i + c) – P(a_i) многочленов от a_i сокращается старшая степень, то есть P(a_i) является многочленом от a_i степени не выше k – 1.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
задача