Условие
Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно
разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными
перпендикулярными разрезами.
Подсказка
Для каждого направления найдите прямую, делящую пирог пополам,
а также перпендикулярную ей прямую, делящую пирог пополам.
Непрерывно изменяя эту пару перпендикулярных прямых, найдите
положение, в котором равновелики 4 части, на которые разделен
пирог.
Решение
Можно переформулировать задачу следующим образом: на плоскости
дана некоторая фигура Ф площади S (для простоты можно предполагать,
что Ф -
многоугольник). Требуется найти две перпендикулярные прямые,
делящие Ф на 4 равные по площади части.
Вначале заметим, что для любого направления (или для любого вектора)
найдется прямая этого
направления, делящая площадь Ф пополам.
В самом деле, рассмотрим, например, горизонтальное направление.
Рассмотрим горизонтальную прямую, относительно которой Ф находится
в нижней полуплоскости. Начинаем непрерывно сдвигать прямую вниз
пока Ф не окажется целиком в верхней полуплоскости относительно
прямой. Площадь той части Ф, которая находится выше прямой,
изменяется при этом непрерывно от 0 до S, следовательно, в
некоторый момент эта площадь будет равна S/2.
Итак, каждому единичному вектору a сопоставляется прямая l(a),
делящая площадь Ф пополам.
Выберем некоторый вектор a и обозначим за b вектор, который получается
из a поворотом на 90
0.
Рассмотрим прямые l(a) и l(b), удобно принять эти прямые соответственно
за оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. Положительное направление
на этих осях выберем вдоль векторов a и b. Обозначим через
S
1, S
2, S
3, S
4
площади частей фигуры Ф, находящиеся соответственно в первом,
втором, третьем и четвертом квадрантах.
Имеем: S
1+S
2=S
3+S
4 и
S
1+S
4=S
2+S
3.
Складывая и вычитая уравнения, получаем, что
S
1=S
3 и S
2=S
4,
а поскольку
S
1+S
2+S
3+S
4=S,
найдется такое число d ("дефект"), что
S
1=S
3=S/4-d и
S
2=S
4=S/4+d.
Теперь будем непрерывно вращать вектор a (и соответственно вектор b)
и для каждого положения вычислять "дефект" d (который зависит от
положения вектора a). При непрерывном вращении вектора a прямые
l(a), l(b) меняются непрерывно, соответственно площади частей, на
которые эти прямые делят Ф, меняются непрерывно.
Отсюда следует и непрерывное изменение "дефекта" d.
Для начального положения вектора a "дефект" равен d.
Когда a повернулся на 90
0 и совпал с вектором b,
"дефект" стал равен -d. Значит, для некоторого положения вектора a
"дефект" равен 0. Соответствующие прямые l(a) и l(b) разделят Ф на
равновеликие части.
Источники и прецеденты использования
