Задача 35239

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых отсутствует ноль. Докажите, что сумма обратных величин любого количества из этих чисел не превосходит некоторого числа C.

Подсказка

Оцените отдельно для каждого k сумму k-значных чисел, не содержащих ноль в десятичной записи.

Решение

Зафиксируем некоторое натуральное k. Рассмотрим все k-значные натуральные числа, в десятичной записи которых нет нуля. Каждое из этих чисел не меньше, чем 10^k-1. Найдем количество этих чисел. В первом разряде может стоять любая цифра от 1 до 9, во втором разряде - тоже независимо от первого, и т.д. - всего 9^k чисел. Таким образом, сумма обратных величин S_k всех этих чисел не превосходит 9^k/10^k-1. Если рассмотреть любое конечное множество M чисел, не содержащих ноль в десятичной записи, то сумма обратных величин этих чисел не превосходит суммы S₁+S₂+...+S_n, где n - количество цифр у максимального числа из множества M. Таким образом, сумма обратных величин чисел множества M не превосходит суммы убывающей геометрической прогрессии 9+9²/10+...+9ⁿ/10^n-1+... = 9/(1-9/10) = 90.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача