Задача 35276

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Тождественные преобразования ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Известно, что число 2n для некоторого натурального n является суммой двух точных квадратов.
Докажите, что n также является суммой двух точных квадратов.

Решение

Пусть  2n = k² + m³,  где k и m – целые числа. Тогда  n = ^k²+m²/₂ = (^k–m/₂)² + (^k+m/₂)².  Поскольку число 2n чётно, k и m имеют одну чётность. Значит, нами получено нужное разложение числа n в сумму двух точных квадратов.

Замечания

Известно полное описание чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, – это в точности числа, в разложении которых на простые сомножители каждый простой делитель вида  4k + 3  присутствует в чётной степени. Из этого факта, разумеется, утверждение задачи следует сразу.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача