Условие
Дорожно-ремонтная организация "Тише едешь - дальше будешь"
занимается укладкой асфальта.
Организация взяла обязательство покрыть асфальтом 100-километровый
участок дороги.
В первый день был заасфальтирован
1 км дороги. Далее, если уже
заасфальтировано x км дороги, то в следующий день организация
покрывает асфальтом еще 1/x км дороги.
Докажите, что все же наступит тот день, когда организация
"Тише едешь - дальше будешь" выполнит свое обязательство.
Подсказка
Проследите, как с каждым днем меняется
квадрат числа покрытых асфальтом километров.
Решение
Пусть после n-ого дня асфальтом покрыто
a
n километров дороги.
Тогда по условию a
1=1 и
a
n+1=a
n+1/a
n.
Возведем данное равенство в квадрат, получим:
a
n+12 =
a
n2+2+(1/a
n)
2.
Таким образом,
a
n+12 >
a
n2+2.
Мы видим, что последовательность a
n2
возрастает на каждом шаге по крайней мере на 2.
Отсюда следует, что a
50012 >
2*5000 = 100
2 и a
5001 > 100.
Таким образом, обязательство будет выполнено не позже, чем на 5001
день.
Источники и прецеденты использования
