Задача 35281

Тема:    [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10

Условие

Найти сумму а) 1+11+111+...+111...1, где последнее число содержит n единиц; б)аналогичная задача, когда вместо единиц стоят пятерки.

Подсказка

Решите аналогичную задачу, где вместо единиц стоят девятки.

Решение

Проще всего решается задача, когда вместо единиц стоят девятки. Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, найдем сумму S=9+99+999+...+999...9(n девяток) = (10¹-1)+(10²-1)+...+(10ⁿ-1) = (10¹+10²+...+10ⁿ)-n = (10ⁿ⁺¹-10)/(10-1)-n = (10ⁿ-1)*(10/9)-n.
  a) Теперь легко ответить на вопрос этого пункта: сумма равна S/9=(10ⁿ-1)*(10/81)-n/9.
  б) В этом случае ответ равен (S/9)*5= =(10ⁿ-1)*(50/81)-5n/9.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача