Условие
При посадке в самолет выстроилась очередь из n пассажиров,
у каждого из которых имеется билет на одно из n мест.
Первой в очереди стоит сумасшедшая старушка. Она вбегает в салон и
садится на случайное место (возможно, и на свое). Далее
пассажиры по очереди занимают свои места, а в случае, если свое
место уже занято, садятся случайным образом на одно из свободных
мест. Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое
место?
Подсказка
Пусть последний сел не на свое место. Тогда в тот момент, когда
некоторый пассажир
занимал место последнего, он мог занять и старушкино место.
Решение
Пусть при некоторой рассадке пассажиров последний пассажир сел не
на свое место (такую рассадку назовем неудачной).
Тогда до прихода последнего пассажира его место
было занято пассажиром A (A может быть и сумасшедшей старушкой).
В момент прихода пассажира A перед ним стоит выбор - какое место
занять. В рассматриваемой рассадке он занимает место последнего
пассажира. Но с той же вероятностью он мог занять и место
старушки,
и в дальнейшем все пассажиры, включая последнего, займут свои
собственные места.
(Конечно, нужно еще пояснить, почему в момент прихода пассажира A
старушкино место все еще свободно. Но это действительно так -
нетрудно проследить, что пока старушкино место свободно,
среди всех еще не вошедших пассажиров есть ровно один, чье
место уже занято. Как только очередной пассажир занимает старушкино место,
все остальные будут садиться только на свои места.)
Таким образом, каждой неудачной рассадке соответствует удачная,
которая может случиться с той же вероятностью.
Это говорит о том, что ровно в половине
случаев рассадка будет неудачной.
Ответ
0.50
