Задача 35392

Темы:    [ Рекуррентные соотношения ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Тождественные преобразования ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Вялый М.Н.

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

Подсказка

Рассмотрите последовательность  b_n = a_n + 1  и покажите, что b_n делится на большую степень десятки.

Решение

Рассмотрим последовательность {b_n}, определённую формулой  b_n = a_n + 1.  Условие     перепишем в виде
  Из полученной формулы видно, что если десятичная запись числа b_k оканчивается на K нулей, то запись числа b_k+1 оканчивается на 2K нулей. Так как  b₀ = 10,  то есть оканчивается на один ноль, то b_k оканчивается на 2^k нулей. В частности, b₁₀ оканчивается на 1024 нуля, следовательно,  a₁₀ = b₁₀ – 1  оканчивается на 1024 девятки.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 6.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1992
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М1326