Задача 35393

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Условие

Найдите множество середин хорд, проходящих через заданную точку A внутри окружности.

Подсказка

Любая середина хорды, данная точка и центр окружности образуют прямоугольный треугольник.

Решение

  Пусть A – данная точка, O – центр данной окружности Ω. Рассмотрим некоторую хорду BC, которая проходит через точку A. Пусть P – середина этой хорды. Точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC, поэтому  OP ⊥ BC.  Значит, точка P лежит на окружности ω, построенной на OA как на диаметре.
  Наоборот, если взять любую точку P окружности ω, то нетрудно видеть, что прямая AP высекает на окружности Ω хорду, для которой P является серединой.

Ответ

Окружность, построенная на отрезке OA как на диаметре (O – центр исходной окружности).

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача