Условие
Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S.
Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99.
Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше,
чем S/99.
Подсказка
Замените эти два числа на их сумму.
Решение
Рассмотрим некоторые два из этих чисел.
Предположим, что их сумма R не больше, чем S/99.
Заменим эти два числа на их сумму.
После этого получился набор из 99 чисел,
сумма которых равна S, причем одно из чисел (R)
не больше, чем S/99, а остальные - меньше.
Но тогда сумма всех чисел меньше, чем
99*S/99=S. Тем самым, получено противоречие.
Источники и прецеденты использования
