Условие
Дан выпуклый многогранник M. Докажите, что для любых
трех его вершин найдется точка вне многогранника М, из которой видны
эти три вершины.
Подсказка
Проведите в данных трех вершинах
опорные плоскости.
Решение
Пусть A, B, C - данные вершины многогранника.
Для каждой вершины найдется плоскость П такая, что
единственной общей точкой П и многогранника М является эта вершина
(такие плоскости называются опорными).
Проведем такие опорные плоскости для каждой из вершин A, B, C.
Малым изменением этих плоскостей добьемся того, чтобы они
(оставаясь при этом опорными) не были параллельны никакой прямой.
Тогда эти три плоскости пересекутся в некоторой точке O.
Но нетрудно видеть, что O - искомая точка: на прямых OA, OB, OC
нет точек многогранника М, кроме точек A, B, C.
Таким образом, из точки O видна каждая из вершин A, B, C.
Источники и прецеденты использования
